关于最短路径算法中边的权值的思考

不管是单源最短路径算法：Dijkstra Bellman-ford
还是多源最短路径算法：floyed Johnson
我们都绕不开的一件事就是，边的权值$w_{i,j}$
下面我们从多个角度谈边的权值

1.权值恒定

它是指对于每条边的权值$w_{i,j}$,只要i,j确定,$w_{i,j}$就保持不变。这时,这张图应该是一个静态的图。

1.1 如果权值全部非负

这时我们可以将$w_{i,j}$理解为从节点i到节点j的距离,我们可以使用Dijkstra算法求出单源最短路径,但是此时我们无法使用Dijkstra求出单源最长路径,因为Dijkstra算法是一种贪心算法,他每次都找到最优的点,即距离最远的点,而最长路径中,不一定每一个点都是局部最优的。

所以我们说,Dijkstra算法只适用于全局最优要求局部最优的情况。

不过如果我们使用Bellman-ford算法,我们就可以求出最长路径,而且能够判断是否存在正环。即我们的改动就是,“松弛操作”:

初始情况下,s.d=0,其他所有节点距离s点的距离为负无穷
//松弛边 Edge(u,v)
relax(u,v)if( v.d<u.d+w(u,d)v.d=u.d+w(u,d)

1.2 如果权值有正有负

这时我们不能采用Dijkstra算法求最长路径或者最短路径

但是,我们仍然可以使用Bellman-ford算法求出最短路径和最长路径,还能判断是否存在正环或者负环,这一切都取决于我们的松弛操作的设计

2.权值非恒定

这是指$w_{i,j}$,在i和j确定情况下,它还会随其他因素变化,最经典的情况就是,$$w_{i,j}=f(i.d,j.d)$$
即它和i j两点到源节点s的距离有关,而我们知道i.d和j.d会随着程序运行而发生改变,即程序运行过程中,边的权值会发生改变。

此时我们仍然可以使用Bellman-ford算法来计算最短路径或者是最长路径。
这是因为,虽然随着程序的运行,每个节点v到源点s的距离会变化,但是我们要知道的是:Bellman-ford算法的终止情形是:不存在可松弛边。

一种情况是:边权值的变化导致了v.d的变化,而v.d的变化又会导致了边权值的变化从而周而复始,无法结束,这时我们就称 这个图中存在负环或者正环,导致无法求出最短路径或者最长路径。

另一种情况是:你优化你的路径方案后,你去修改图的状态,如果此时你发现基于目前的图的状态,你无法继续优化你的路径方案,那就不会修改图的状态,那就意味者程序结束。这时我们的算法就成功找到了路径方案

所以,只要当方案不发生变化,即i.d和j.d不发生变化 ,$w_{i,j}$就不在改变时,即使w_{i,j}会随着程序运行发送变化,我们仍然可以使用bellman-ford算法计算最长或最短路径