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day41学习内容

day41主要内容

• 01背包之二维数组解法
• 01背包之一维数组解法
• 分割等和子集

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声明
本文思路和文字，引用自《代码随想录》

一、 01背包之二维数组解法

1.1、什么是01背包

1.2、动态规划五部曲

1.2.1、 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

- 考虑前i个物品，当背包容量为j时的最大价值。或者说
- 从物品0到i之间，任意取一个物品放到重量为j的背包中的最大价值

1.2.2、确定递推公式

在0-1背包问题中，dp[i][j]通常表示在考虑前i个物品，且背包容量为j时，能够获得的最大价值。当我们在处理第i个物品时，面临的选择是：放入这个物品，或者不放入这个物品。

在0-1背包问题中，递推公式通常写为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

其中：

• dp[i][j]：考虑前i个物品，当背包容量为j时的最大价值。
• dp[i-1][j]：不放入第i个物品时，考虑前i-1个物品，背包容量为j的最大价值。
  • 如果选择不放入第i个物品，那么背包中的物品组合应该与考虑前i-1个物品时背包容量为j的情况相同。因为我们没有使用额外的容量来放置第i个物品，所以背包的容量和内容保持不变，相当于在做决策时忽略了第i个物品。
  • 因此，此时的公式为，dp[i-1][j]，表示的是在不选择第i个物品的情况下，考虑前i-1个物品时能够获得的最大价值。这反映了一个关键的动态规划概念，即利用子问题的解来构建更大问题的解。
• dp[i-1][j-w[i]] + v[i]：放入第i个物品时的情况，这里w[i]是第i个物品的重量，v[i]是第i个物品的价值。这表示，如果放入第i个物品，那么背包剩余容量为j-w[i]，对应的最大价值应加上第i个物品的价值v[i]。

1.2.3、 dp数组如何初始化

在01背包问题中，dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品，使得这些物品的总重量不超过j时，这些物品的最大总价值。因此，dp[0][j]表示当没有物品可以选择时，任何容量j的背包的最大价值都是0，因为我们什么也装不进去。同样地，dp[i][0]表示当背包的容量为0时，不论有多少物品可供选择，我们都无法装入任何物品，所以最大总价值为0。

1.2.4、确定遍历顺序

从前向后遍历，没啥好说的

1.2.5、计算并返回最终结果

无

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二、 01背包之一维数组解法

2.1、动态规划五部曲

2.1.1、 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

-  dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

2.1.2、确定递推公式

直接给结论：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

2.1.3、 dp数组如何初始化

dp[0] = [0]

2.1.4、确定遍历顺序

需要逆序遍历。

二维动态规划

假设我们有两个物品，其中：

• 物品1的重量为w[1] = 2，价值为v[1] = 3；
• 物品2的重量为w[2] = 3，价值为v[2] = 4；
• 背包的总容量为W = 5。

我们使用二维数组dp[i][j]来表示考虑到第i个物品时，背包容量为j的最大价值。

初始化dp[0][j] = 0，因为没有物品时价值为0。对于每个物品i，我们遍历所有可能的背包容量j，更新dp[i][j]。

从二维到一维的转化

关键点在于观察到更新dp[i][j]时，只需要前一行的信息，即dp[i-1][...]。因此，如果我们能确保在更新dp[j]时，dp[j-w[i]]总是代表加入当前物品前的状态，那么我们就可以只用一维数组来保存所有需要的信息。

为什么要逆序更新

假设我们正向更新，即j从小到大更新。当我们更新dp[j]时，dp[j-w[i]]可能已经被当前物品的加入更新过了，这意味着我们可能会错误地将同一个物品加入背包多次。

逆序更新（即j从大到小更新）确保在更新dp[j]时，dp[j-w[i]]还没有被当前物品的加入影响，因为我们还没有到达更小的j值。这样，每个物品只会被考虑加入一次。

具体示例

让我们以背包总容量W = 5为例，来具体分析这个过程。假设我们现在处理物品1（重量2，价值3）。

• 在二维动态规划中，我们可能得到类似dp[1][j]的更新，其中j从1到5。

• 转换为一维后，我们同样需要更新dp[j]，但是逆序处理。

对于物品1，初始dp为[0, 0, 0, 0, 0, 0]（考虑容量从0到5）。

• 正向考虑，如果我们先更新dp[2]为3（加入物品1），当我们到达dp[4]时，可能错误地再次考虑加入物品1，因为它看到的dp[2]已经反映了物品1的加入。

• 逆序更新，我们从dp[5]开始往回看。当更新dp[5]时，dp[3]（对应j-w[i]）还未被更新，确保我们正确地只考虑加入物品1一次。

三、 分割等和子集

416.原题链接

3.1、动态规划五部曲

3.1.1、 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

- ，dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。

3.1.2、确定递推公式

dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

3.1.3、 dp数组如何初始化

dp[0] = 0，java中新建数组，会自动赋值所有的元素的值都为0

3.1.4、确定遍历顺序

逆序遍历

3.1.5、计算并返回最终结果

return dp[target] == target;

1.3、代码

class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {if(nums == null || nums.length == 0) return false;int n = nums.length;int sum = 0;for(int num : nums) {sum += num;}//总和为奇数，不能平分if(sum % 2 != 0) return false;int target = sum / 2;//开始背包逻辑int[] dp = new int[target + 1];for(int i = 0; i < n; i++) {for(int j = target; j >= nums[i]; j--) {// 此时价值为nums[i]，重量也为nums[i]dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}}return dp[target] == target;}
}

总结

1.感想

• 好难好难。。。

2.思维导图

本文思路引用自代码随想录，感谢代码随想录作者。