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LeetCode670、最大交换

题目描述

给定一个非负整数数组 nums 和一个整数 k ，你需要将这个数组分成 k 个非空的连续子数组。

设计一个算法使得这 k 个子数组各自和的最大值最小。

示例 1：

输入：nums = [7,2,5,10,8], k = 2
输出：18
解释： 一共有四种方法将 nums 分割为 2 个子数组。 其中最好的方式是将其分为 [7,2,5] 和 [10,8] 。 因为此时这两个子数组各自的和的最大值为18，在所有情况中最小。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,4,5], k = 2
输出：9

示例 3：

输入：nums = [1,4,4], k = 3
输出：4

提示：

• 1 <= nums.length <= 1000
• 0 <= nums[i] <= 10(6)
• 1 <= k <= min(50, nums.length)

解题思路

数据范围（数字的长度）最大为8，时间复杂度为O(N^3)的暴力法可以通过。

所谓暴力法，就是枚举出所有不同的下标对(i, j)，交换s[i]和s[j]，找到交换完之后最大的那一组。

思路较为简单，故在此略去不表。一下讨论贪心的做法。

为什么是贪心

由于最多只能交换一次，贪心地思考一下这个问题：我们什么希望进行一个怎么样的交换？

换言之，怎么交换才能使得数字尽可能地大？

考虑例子

9091987

原字符串中的第三个"9"是最大且位置尽可能靠后的数字，这个字符应该优先地被交换到尽可能前的位置。由于索引0的数字是"9"，所以考虑索引1的字符"0"和第三个"9"交换。得到答案

9991087

从这个例子可以看出贪心的策略是：

1. 首选一个尽可能大的数字（比如示例中选择字符"9"）
2. 如果有多个最大的数字，则优先选择位置尽可能靠后的那个（比如示例中选择第三个"9"）
3. 将该数字交换到尽可能靠前的位置，即交换到第一个小于该数字的位置（比如示例中索引1的位置）。

所以考虑逆序遍历原数字字符串（为了方便交换操作，改成数组来操作），并且使用一个栈（类似一个单调栈），储存原数字从右往左看遇到的更大的数字的下标

stack = list()
for i in range(n-1, -1, -1):if not stack or lst[i] > lst[stack[-1]]:stack.append(i)

最终这个栈一定会满足以下条件：

• 栈中储存的是原数字字符串的数字的下标i
• i的取值自栈底向栈顶递减，即栈顶元素stack[-1]是在数字lst中位置最靠前的下标（满足了上述贪心策略2）
• lst[i]的取值自栈底向栈顶递增，即栈顶元素对应的下标在数字数组中的取值lst[i]是最大的数字（满足了上述贪心策略1）

以例子num = 9091987为例，栈中的结果是储存了最后三个数字"987"的下标，即stack = [6, 5, 4]

接下来要考虑如何实现上述贪心策略的第三点。

我们可以从头到尾遍历原数字数组lst，将下标i和栈顶元素stack[-1]、以及下标i对应的数字lst[i]和栈顶元素对应的数字lst[stack[-1]]进行比较。若

• i < stack[-1]，说明此时下标i的位置位于stack[-1]的左边，可以继续进行后续判断。若
  • lst[i] < lst[stack[-1]]，说明此时可以交换位置i和stack[-1]的两个数字，交换之且退出循环
  • lst[i] >= lst[stack[-1]]，说明此时不能进行交换，i需要继续增大
• i >= stack[-1]，说明此时下标i的位置已经不再位于stack[-1]的左边，此时不能再考虑栈顶元素，应该将其弹出

另外，由于涉及弹出操作，如果出现空栈情况，但尚未进行交换，则说明原数字数字本身就是一个非递增序列，需要退出循环。综上，上述贪心操作的代码为

for i in range(n):if not stack:breakif i > stack[-1]:if lst[i] < lst[stack[-1]]:lst[i], lst[stack[-1]] = lst[stack[-1]], lst[i]ans = "".join(lst)breakelse:continueelse:stack.pop()

一个带图的例子

再举一个例子，num = "9987687676"，答案应该为ans = "9988677676"，可以做出如下图

逆序遍历数组lst，构建栈stack = [8, 7, 4, 1]，为可能进行交换的那些对应较大数字且靠后的位置。

正序遍历i，反复拿出栈顶索引对应的元素lst[stack[-1]]对应的数字和i对应的元素lst[i]进行比较。会经历如下过程。

i < stack[-1]，但lst[i] >= lst[stack[-1]]。不能做交换，i增加。

i >= stack[-1]，即i的位置不位于stack[-1]的左边，stack[-1]出栈，i增加。

i < stack[-1]，但lst[i] >= lst[stack[-1]]。不能做交换，i增加。

i < stack[-1]，且lst[i] < lst[stack[-1]]。进行交换，得到ans = "9988677676"，是可以得到的数字最大的结果。

代码

python

# 贪心+栈：O(N)
class Solution:def maximumSwap(self, num: int) -> int:# 用列表的形式储存数字numlst = list(str(num))# 获得数字num的位数（即lst的长度）n = len(lst)# 构建一个栈，储存原字符串从右往左看遇到的更大数字的下标stack = list()# 逆序遍历字符串sfor i in range(n-1, -1, -1):# 如果栈是空栈，或者当前下标i对应的数字lst[i]大于栈顶下标对应的数字lst[stack[-1]]# 则将索引i加入stackif not stack or lst[i] > lst[stack[-1]]:stack.append(i)# 正序遍历列表lstfor i in range(n):# 若出现空栈情况，则退出循环if not stack:break# 如果当前下标i位于栈顶元素stack[-1]的左边# 则可以进行后续判断if i < stack[-1]:# 若当前数字小于栈顶元素对应的数字，则可以进行交换if lst[i] < lst[stack[-1]]:lst[i], lst[stack[-1]] = lst[stack[-1]], lst[i]return int("".join(lst))# 否则，考虑下一个i，这里的else也可以不写else:continue# 如果当前下标i不位于栈顶元素stack[-1]的左边# 则弹出栈顶元素，考虑下一个较小但是位于较右位置的数字else:stack.pop()return num

java

public class Solution {public int maximumSwap(int num) {char[] chars = Integer.toString(num).toCharArray();int n = chars.length;int[] stack = new int[n];int top = -1;for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {if (top == -1 || chars[i] > chars[stack[top]]) {stack[++top] = i;}}for (int i = 0; i < n; i++) {if (top == -1) {break;}if (i < stack[top]) {if (chars[i] < chars[stack[top]]) {char temp = chars[i];chars[i] = chars[stack[top]];chars[stack[top]] = temp;return Integer.parseInt(new String(chars));}} else {top--;}}return num;}
}

cpp

class Solution {
public:int maximumSwap(int num) {std::string numStr = std::to_string(num);int n = numStr.length();std::vector<int> stack;for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {if (stack.empty() || numStr[i] > numStr[stack.back()]) {stack.push_back(i);}}for (int i = 0; i < n; i++) {if (stack.empty()) {break;}if (i < stack.back()) {if (numStr[i] < numStr[stack.back()]) {std::swap(numStr[i], numStr[stack.back()]);return std::stoi(numStr);}} else {stack.pop_back();}}return num;}
};

时空复杂度

时间复杂度：O(N)。仅需一次遍历所有数字。

空间复杂度：O(1)。栈所占空间，最大为9，可视为常数级别空间。

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