概率论

Ch1. 随机事件及其概率

1.基本概念

①古典概型求概率
②几何概型求概率
③七大公式求概率
④独立性

(1)随机试验、随机事件、样本空间

1.随机试验 E

2.随机事件 A、B、C
①必然事件 Ω：$P(\Omega )=1$
②不可能事件 Ø：$P(Ø)=0$

3.样本空间
①样本点 ω = 基本事件
②样本空间 Ω：样本点的全体组成的集合

(2)事件的关系和运算

①定义：互斥(互不相容)、对立

(一) 关系：包含、相等、相容、(互不相容)互斥、对立
(二) 运算：和(并)、差、积(交)

(一) 事件的关系
1.包含
(1)概念：

(2)性质：
①$A\subset B$，则 $P(A)\le P(B)$
②$AB\subset A$且$AB\subset B$，即 P(AB)≤P(A)且P(AB)≤P(B)

(3)若事件C发生必然导致事件A与B同时发生，则A、B、C事件关系为：$C\subset AB$

2.相等

3.相容

4.互不相容(互斥)
(1)定义：
若事件A,B互斥，则
①事件角度：AB=Ø
②概率角度：P(AB)=0

(2)性质：
AB=Ø，则$A\subset \overline{B}$，$P(A)\le P(\overline{B})$

5.对立：对立事件、逆事件
①$AB=Ø$ 且 $A\cup B=\Omega$ (即$\bar{A}$=B)
②P(AB)=0 且 P(A)+P(B)=1

(二)事件的运算
1.和(并)：A∪B

2.差：$A-B=A∩\overline{B} $

3.积(交)：A∩B 或 AB

---

例题1：12年14.

答案：3/4

---

②运算法则：德摩根率

5.德摩根率(对偶律) 【长杠变短杠，开口换方向】
(1)$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}=\overline{A}\overline{B}$：A、B均不发生
(2)$\overline{AB}=\overline{A}\cup \overline{B}$：A、B至少有一个不发生

方法：转化为带并的来看含义

---

例题1：

分析：
A={甲畅销，乙滞销}=B∩C
$\bar{A}=\overline{B\cap C}=\overline{B}\cup \overline{C}$=甲滞销 或 乙畅销

答案：C

例题2：

法一：推导
法二：画图

---

(3)概率的定义

1.用频率去估计概率

2.概率的公理化定义
①非负性：$P(A)\ge 0$
②规范性：$P(\Omega )=1$
③可列可加性：任意可列个两两互不相容的事件$A_1,A_2,...,A_n$，有$P(A_1\cup A_2\cup ...\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)$ 【完备事件组】

(4)概率的性质

(1)有界性：
对任意事件A，有$0\le P(A)\le 1$。

注：对于几何概型：若P(A)=0，不能断言 A=Ø；若P(A)=1，不能断言 A=Ω；
但反之则对：若A是空集Ø，则P(A)=0；若A是全集Ω，则P(A)=1。即一定有$P(Ø)=0,P(\Omega )=1$。

(2)单调性：
对于A,B两个事件，若有$A\subset B$，则有：
①P(A)≤P(B)
②P(B-A)=P(B)-P(A)

(5)概率计算

跳转链接

排列组合

	排列	组合
符号	$A_n^m$	$C_n^m$
公式	$A_n^m=n(n-1)...(n-m-1)$	$C_n^m=\frac{n(n-1)...(n-m-1)}{m!}$
关系	$A_n^m=$	$C_n^m\cdot m!$

2.等可能概型

1.古典概型 (离散)

古典概型(离散)，研究工具：①排列组合 ②加法原理、乘法原理 ③直接数数

求法：
(1)直接用定义求概率：$P(A)=\frac{k}{n}$

(2)随机分配：m个可辩质点，放到n个盒子中
①每个盒子可以放任意多个质点：有 $n^m$ 种放法
②每个盒子只能放一个质点：有 $A_n^m=n(n-1)...(n-m+1)$ 种放法

(3)简单随机抽样

	含义	共有多少种不同的取法
①先后有放回	m个球，先后有放回地取n次	$m^n$
②先后无放回	m个球，先后无放回地取n次	$A_m^n=m(m-1)...(m-n+1)$
③任取(一次性同时拿出)	从n中一次性取m个球	$C_n^m$

2.几何概型 (连续)

几何概型(连续)，研究工具：几何方法、微积分

$P(A)=\frac{S_A的几何度量}{\Omega 的几何度量}$

几何度量：长度、面积、体积

---

例题1：07年16.   几何概型

分析：
法一：直接观察，使得 x-y绝对值小于0.5

显然，概率应为$\frac{3}{4}$

法二：随机变量的概率

文字语言	数学语言
两个数之差的绝对值	$|X-Y|$
两个数之差的绝对值小于$\frac{1}{2}$	$|X-Y|<\frac{1}{2}$
两个数之差的绝对值小于$\frac{1}{2}$的概率	P { ∣ X − Y ∣ < 1 2 } P\{\ \lvert X-Y\rvert<\dfrac{1}{2}\ \} P{ ∣X−Y∣<21​ }

则 P { ∣ X − Y ∣ < 1 2 } = P { − 1 2 < X − Y < 1 2 } = P { − 1 2 < Y − X < 1 2 } = P { x − 1 2 < Y < x + 1 2 } P\{|X-Y|<\dfrac{1}{2}\}=P\{-\dfrac{1}{2}<X-Y<\dfrac{1}{2}\}=P\{-\dfrac{1}{2}<Y-X<\dfrac{1}{2}\}=P\{x-\dfrac{1}{2}<Y<x+\dfrac{1}{2}\} P{∣X−Y∣<21​}=P{−21​<X−Y<21​}=P{−21​<Y−X<21​}=P{x−21​<Y<x+21​}

即在$0<x<1,0<y<1$区域内，落在 $y=x+\frac{1}{2}$ 和 $y=x-\frac{1}{2}$ 之间的概率。

答案：$\frac{3}{4}$

---

3.七大公式

(1)逆事件概率公式

$P(\overline{A})=1-P(A)$

(2)加法公式

1.任意事件
①两事件和的概率：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
②三事件和的概率：$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)$
③四事件和的概率：$P(A\cup B\cup C\cup D)=[P(A)+P(B)+P(C)+P(D)]-[P(AB)+P(AC)+P(AD)+P(BC)+P(BD)+P(CD)]+[P(ABC)+P(ABD)+P(ACD)+P(BCD)]-P(ABCD)$

2.两两互不相容事件：
互斥条件下的加法公式，和的概率 = 概率的和

(3)减法公式

$P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A\overline{B})$

(4)条件概率公式

条件概率：A发生条件下，B发生的概率，记为$P(B|A)$，前提要求P(A)>0 【垂帘听政】

$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$

注：①条件概率也是概率，概率的性质仍都满足

(5)乘法公式

①$P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)$

②$P(A_1{A}_2{A}_3)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)$ 【上过台的，到帘子后面】

(6)全概率公式

1.完备事件组：任意两两互斥，概率有可列可加性

2.全概率公式 【全集分解公式，由因导果】
$P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(B{A}_i)=P(B{A}_1)+P(B{A}_2)+...P(B{A}_n)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+...+P(A_n)P(B|A_n)$ 【谁去干的概率×干成功的概率】

例： P { Y ≤ y } = P { X = 1 } ⋅ P { Y ≤ y ∣ X = 1 } + P { X = 2 } ⋅ P { Y ≤ y ∣ X = 2 } P\{Y≤y\} = P\{X=1\}·P\{Y≤y|X=1\}+ P\{X=2\}·P\{Y≤y|X=2\} P{Y≤y}=P{X=1}⋅P{Y≤y∣X=1}+P{X=2}⋅P{Y≤y∣X=2}
对y的取值进行分类讨论：①y<0 ②0≤y<1 ③1≤y<2 ④y>2

(7)贝叶斯公式 (先验概率)

贝叶斯公式(逆概率公式，执果索因)：已知B发生了，求是谁干的？

$P(A_k|B)=\frac{P(B{A}_k)}{P(B)}=\frac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)}=\frac{全概率的某一项}{全概率公式}$

在全概率时，每个人干的可能性一般是等可能的。但当事件发生后，每个人干的可能性就发生了变化。
即贝叶斯公式：增加信息，概率的大小可能要修正

---

例题1：随机事件的概率

分析： 德摩根律(对偶率)
A

C 包含的性质

D 逆事件概率公式 + 德摩根律(对偶率)

答案：A

例题2：18年14.   条件概率、事件的独立性

分析：关键是分析出P(AC(AB∪C))=P(AC)

因为BC=Ø，∴P(BC)=0，P(ABC)=0
$P(AC|AB\cup C)=\frac{P(AC(AB\cup C))}{P(AB\cup C)}=\frac{P(ABC\cup AC))}{P(AB\cup C)}=\frac{P(AC))}{P(AB)+P(C)-P(ABC)}=\frac{P(A)P(C))}{P(A)P(B)+P(C)}=\frac{1}{4}$
$\therefore P(C)=\frac{1}{4}$

答案：$\frac{1}{4}$

例题3：15年7.   交与并、加法公式

分析：交的概率大于等于并的概率

答案：C

例题4：21年16.   全概率公式 + 条件概率

分析：

答案：$\frac{1}{5}$

例题5：23李林六(三)16.

分析：法1:特殊值   法2:正面解

答案：2

例题6：全概率公式

分析：分两次全概率：①抽验样本为正品 ②该箱通过验收

答案：0.887

例题7：贝叶斯公式

分析：

答案：$\frac{3}{28}$

---

4.独立性

(1)事件的独立性

(1)数学定义：事件A、B独立 $\iff P(AB)=P(A)\cdot P(B)$

不可能事件Ø，与任意事件独立

(2)可推得A、B独立条件下的条件概率公式：$P(A|B)=P(A)，P(B|A)=P(B)$ 【描述性定义：结果不受影响 】

(3)n个事件相互独立、n个事件两两独立

---

例题1：

分析：

答案：B

---

(2)n重伯努利概型 (独立试验序列概型)