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前言

通过模型算法，熟练对Matlab和python的应用。
学习视频链接：
https://www.bilibili.com/video/BV1EK41187QF?p=36&vd_source=67471d3a1b4f517b7a7964093e62f7e6

一、图论

图论（Graph Theory）是数学和计算机科学中的一个重要分支，专门研究图（graphs）的性质及其应用。图是一种抽象的数据结构，用于表示对象及其相互关系。

基本概念

1. 图（Graph）：
   一个图由一组顶点（或称为节点）和一组边（连接这些顶点的线）组成。形式上，一个图 ( G ) 可以表示为 ( G = (V, E) )，其中 ( V ) 是顶点集合，( E ) 是边集合。

2. 顶点（Vertex）：
   图中的一个基本单位，代表某个对象。顶点的集合通常用 ( V ) 表示。

3. 边（Edge）：
   顶点之间的连接。边的集合通常用 ( E ) 表示。边可以是有向的（directed）或无向的（undirected）。

4. 有向图（Directed Graph or Digraph）：
   边有方向的图，即边表示从一个顶点指向另一个顶点的箭头。

5. 无向图（Undirected Graph）：
   边没有方向的图，即边仅表示顶点之间的连接，没有方向性。

6. 权重（Weight）：
   在一些图中，边可以附带一个数值，称为权重（weight），表示顶点之间的距离、成本或其他度量。

7. 路径（Path）：
   从一个顶点到另一个顶点经过的一系列边和顶点。路径的长度通常表示为路径上所有边的权重之和。

示例

• 求 0 到 8 的最短距离。

二、代码实现----Matlab

在MATLAB中，shortestpath 函数用于计算图中两个节点之间的最短路径。

shortestpath 函数的基本语法如下：

[P, d] = shortestpath(G, s, t)

• G：一个图对象，通常使用 graph 或 digraph 函数创建。
• s：起始节点。
• t：目标节点。
• P：返回的最短路径上的节点序列。
• d：返回的最短路径的长度（或权重和）。

% 定义图的边和权重
s = [9 9 1 1 3 3 3 2 2 5 5 7 7 8]; % 起始节点编号
t = [1 2 2 3 4 6 7 4 5 4 7 6 8 6]; % 终止节点编号
w = [4 8 3 8 2 7 4 1 6 6 2 14 10 9]; % 边的权重% 创建一个图形对象 G
G = graph(s,t,w);% 绘制图形 G，并将边的权重添加到图形上
% G.Edges.Weight 表示图形对象 G 中所有边的权重值，'EdgeLabel' 表示在图形上显示这些权重值
plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2)
% 隐藏图形的坐标轴
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );% shortestpath 函数计算从节点 9 到节点 8 的最短路径和路径长度，并将路径和路径长度分别存储在 P 和 d 中
[P,d] = shortestpath(G, 9, 8);
% 在图形 G 中高亮显示最短路径
% highlight 函数高亮图形对象 myplot 中的路径 P，'EdgeColor', 'r' 表示将路径颜色设置为红色。
myplot = plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2);
highlight(myplot, P, 'EdgeColor', 'r')

运行结果：

三、代码实现----python

在 Python 中，可以使用 NetworkX 库和 Matplotlib 库来实现带有权重的无向图的创建和绘制。

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt# 定义图的边和权重
edges = [(9, 1, 4), (9, 2, 8), (1, 2, 3), (1, 3, 8), (3, 4, 2), (3, 6, 7), (3, 7, 4), (2, 4, 1), (2, 5, 6), (5, 4, 6), (5, 7, 2), (7, 6, 14), (7, 8, 10), (8, 6, 9)]# 创建一个有加权边的图形对象 G
G = nx.Graph()  
G.add_weighted_edges_from(edges)# 计算从节点 9 到节点 8 的最短路径和路径长度
path = nx.shortest_path(G, source=9, target=8, weight='weight')
path_length = nx.shortest_path_length(G, source=9, target=8, weight='weight')# 绘制图形 G，并将边的权重添加到图形上
pos = nx.spring_layout(G)  # 计算节点位置
nx.draw(G, pos, with_labels=True, node_color='lightblue', edge_color='gray', node_size=500, font_size=10, width=2)
edge_labels = nx.get_edge_attributes(G, 'weight')
nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos, edge_labels=edge_labels)# 在图形 G 中高亮显示最短路径
path_edges = list(zip(path, path[1:]))
nx.draw_networkx_edges(G, pos, edgelist=path_edges, edge_color='r', width=2)# 隐藏图形的坐标轴
plt.gca().set_xticks([])
plt.gca().set_yticks([])# 显示结果
print('最短路径:', path)
print('最短路径长度:', path_length)plt.show()

运行结果：

总结

本文介绍了使用图论求最短路径，并通过典型示例建立模型，分别使用Matlab和python进行代码编写。