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文章目录
- 一、优化问题
- （一）数学优化
- （二）凸优化
- 二、凸集
- （一）一些标准凸集
- （二）保留凸性的运算
- （三）正常锥和广义不等式
- （四）分离和支撑超平面
一、优化问题
（一）数学优化
从本质上讲，人工智能的目标就是最优化——在复杂环境中与多体交互中做出最优决策。几乎所有的人工智能问题都会归结为一个优化问题。
- 优化目标：minimize f 0 ( x ) f_0(x) f0(x)
- 约束条件：
- 非等式约束： f i ( x ) ≤ 0 ， i = 1 , . . . , m f_i(x)\leq0，i=1,...,m fi(x)≤0，i=1,...,m
- 等式约束： g i ( x ) = 0 ， i = 1 , . . . , m g_i(x)=0，i=1,...,m gi(x)=0，i=1,...,m
将最优化问题用于求解最佳决策时， x x x代表决策，约束用于限制决策或对结果施加条件
将最优化问题用于求解最优模型时， x x x 表示模型中的参数，约束对模型参数提出要求（例如，非负性）
最优化问题一般情况下不能得到完全的解决，但是可以尝试近似地解决它，而且通常无伤大雅。这个问题的例外情况是：凸优化问题。
一般非凸问题的传统技术通常会涉及到一定的妥协：
- 局部优化方法（非线性规划）
- 在其附近的可行点中找到一个使 f 0 f_0 f0 最小的点
- 可以处理大问题，例如神经网络训练
- 需要初始猜测，并且通常需要算法参数微调
- 不提供有关找到的点有多次优的信息
- 全局优化方法
- 找到（全局）解决方案
- 最坏情况的复杂性随着问题的规模呈指数级增长
- 通常基于解决凸子问题
（二）凸优化
凸优化问题是特殊形式的优化问题，包括线性规划 (LP)、二次规划 (QP) 等，我们通常能够可靠、高效地解决这些问题。
- 优化目标：minimize f 0 ( x ) f_0(x) f0(x)
- 约束条件：
- 非等式约束： f i ( x ) ≤ 0 ， i = 1 , . . . , m f_i(x)\leq0，i=1,...,m fi(x)≤0，i=1,...,m
- 等式约束： A x = b Ax=b Ax=b
凸优化问题与最优化问题的对比：
- 凸优化问题的等式约束是线性的
- f 0 , . . . , f m f_0,..., f_m f0,...,fm是凸的： θ ∈ [ 0 , 1 ] , f i ( θ x + ( 1 − θ ) y ) ≤ θ f i ( x ) + ( 1 − θ ) f i ( y ) \theta \in [0,1],f_i(\theta x+(1-\theta)y)\leq\theta f_i(x)+(1-\theta)f_i(y) θ∈[0,1],fi(θx+(1−θ)y)≤θfi(x)+(1−θ)fi(y)
二、凸集
（一）一些标准凸集
仿射集包含通过集合中任意两个不同点的线（通过 x 1 x_1 x1、 x 2 x_2 x2两点的线： x = θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 , θ ∈ R x=\theta x_1+(1-\theta)x_2,\theta \in R x=θx1+(1−θ)x2,θ∈R）
- 函数形式为f=Ax+b，则称函数是仿射的，即线性函数加常数的形式。
- 比如线性方程组的解 { x ∣ A x = b } \{x |Ax = b\} {x∣Ax=b}，并且每个仿射集都可以表示为线性方程组的解集
凸集包含集合中任意两点之间的线段（ x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2两点间的线段： x = θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 , 0 ≤ θ ≤ 1 x=\theta x_1+(1-\theta)x_2,0\leq\theta\leq1 x=θx1+(1−θ)x2,0≤θ≤1）
- 凸集满足对于 x 1 , x 2 ∈ C , 0 ≤ θ ≤ 1 x_1,x_2\in C,0\leq\theta\leq1 x1,x2∈C,0≤θ≤1,有 θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ∈ C \theta x_1+(1-\theta)x_2\in C θx1+(1−θ)x2∈C；
- 以下为一个凸集和两个非凸集的示意：
为什么 x = θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 x=\theta x_1+(1-\theta)x_2 x=θx1+(1−θ)x2可以表示任意两点连接线段的所有点？将上式展开得：
x = θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 = θ x 1 + x 2 − θ x 2 = θ ( x 1 − x 2 ) + x 2 x=\theta x_1+(1-\theta)x_2=\theta x_1+x_2-\theta x_2=\theta(x_1-x_2)+x_2 x=θx1+(1−θ)x2=θx1+x2−θx2=θ(x1−x2)+x2
凸包： S 中所有点的凸组合的集合（ x 1 , . . . , x k x_1,...,x_k x1,...,xk的凸组合： x = θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + . . . + θ k x k x=\theta_1 x_1+\theta_2 x_2+...+\theta_k x_k x=θ1x1+θ2x2+...+θkxk，其中 θ 1 + . . . + θ k = 1 , θ i ≥ 0 \theta_1+...+\theta_k =1,\theta_i \geq 0 θ1+...+θk=1,θi≥0）
凸锥体： 包含集合中点的所有圆锥组合的集合（ x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2的圆锥组合： x = θ 1 x 1 + θ 2 x 2 x=\theta_1 x_1+\theta_2 x_2 x=θ1x1+θ2x2，且 θ 1 ≥ 0 , θ 2 ≥ 0 \theta_1\geq0,\theta_2\geq0 θ1≥0,θ2≥0）
超平面： 形式为 { x ∣ a T x = b } \{x | a^T x = b\} {x∣aTx=b}的集合，其中 a ≠ 0 a ≠ 0 a=0，半空间： 形式为 { x ∣ a T x ≤ b } \{x | a^T x \leq b\} {x∣aTx≤b}的集合，其中 a ≠ 0 a ≠ 0 a=0。（a是法向量，超平面是仿射和凸的；半空间是凸的）
欧几里得球： B ( x c , r ) = { x ∣ ∣ ∣ x − x c ∣ ∣ 2 ≤ r } = { x c + r u ∣ ∣ ∣ u ∣ ∣ 2 ≤ 1 } B(x_c,r)=\{x|\ ||x-x_c||_2\leq r\} = \{x_c+ru|\ ||u||_2\leq1\} B(xc,r)={x∣ ∣∣x−xc∣∣2≤r}={xc+ru∣ ∣∣u∣∣2≤1}
椭球： { x ∣ ( x − x c ) T P − 1 ( x − x c ) ≤ 1 } = { x c + r u ∣ ∣ ∣ u ∣ ∣ 2 ≤ 1 } = { x c + A u ∣ ∣ ∣ u ∣ ∣ 2 ≤ 1 } \{x|\ (x-x_c)^T P^{-1}(x-x_c)\leq 1\} = \{x_c+ru|\ ||u||_2\leq1\} = \{x_c+Au|\ ||u||_2\leq1\} {x∣ (x−xc)TP−1(x−xc)≤1}={xc+ru∣ ∣∣u∣∣2≤1}={xc+Au∣ ∣∣u∣∣2≤1}，其中 P ∈ S + + n P\in S^n_{++} P∈S++n，也就是说P 对称正定，A平方且非奇异。
中心为 x c x_c xc，半径为 r r r 的标准球： { x ∣ ∣ ∣ x − x c ∣ ∣ ≤ r } \{x|\ ||x − x_c|| ≤ r\} {x∣ ∣∣x−xc∣∣≤r}
标准锥： { ( x , t ) ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ ≤ t } \{(x, t) |\ ||x||≤t\} {(x,t)∣ ∣∣x∣∣≤t}
欧几里得范数锥： { ( x , t ) ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 ≤ t } \{(x, t) |\ ||x||_2≤t\} {(x,t)∣ ∣∣x∣∣2≤t}
多面体 是有限多个线性不等式和等式的解集，也是有限数量的半空间和超平面的交集。 { x ∣ A x ≤ b , C x = d } \{x| Ax\leq b,Cx=d\} {x∣Ax≤b,Cx=d}
（二）保留凸性的运算
证明集合 C 凸性的方法：
- 基于定义：如果 x 1 , x 2 ∈ C , 0 ≤ θ ≤ 1 x_1,x_2\in C,0\leq\theta\leq 1 x1,x2∈C,0≤θ≤1，则有 θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ∈ C \theta x_1+(1-\theta)x_2\in C θx1+(1−θ)x2∈C；
- 使用凸函数；
- 表明 C 是通过保留凸性的操作从简单凸集（超平面、半空间、范数球……）获得的；
交运算：（任意数量的）凸集的交集是凸的。
仿射映射：凸集的仿射映射也是凸的。（函数形式为f=Ax+b，则称函数是仿射的，即线性函数加常数的形式。）
（仿射变换就认为是一个矩阵变换，足球可以映射成一个橄榄球，依然是凸集。）
由仿射变换推出凸集的和也是凸集：
透视函数：凸集在透视下的像和逆像都是凸的（透视函数实际上就是对向量进行伸缩规范化）
线性分数函数是仿射映射函数和透视变换的复合函数，依然还是保凸运算，凸集在线性分数函数下的像和逆像都是凸的。从联合概率到条件概率的变换是一个线性分数函数。
（三）正常锥和广义不等式
正常锥的定义：如果凸锥体 K ⊆ R n K⊆R_n K⊆Rn满足如下条件，则称锥 K ⊆ R n K⊆R_n K⊆Rn为正常锥。
- K是凸的
- K是闭的
- K是实的，即K有非空的内部
- K是尖的，即K不包含任何直线
广义不等式满足类似普通不等式的性质，如传递性，反对称性等等。 广义不等式和普通不等式最大的区别是不是任意两点都是可比的。即 x ≤ y x≤y x≤y 和 y ≤ x y≤x y≤x对于普通不等式二者必居其一。而对于广义不等式这不一定成立。所以最小，最大这些概念对于广义不等式变得很复杂。
（四）分离和支撑超平面
分离超平面：利用超平面将两个不相交的凸集分离开来，即得到超平面分离定理。
支撑超平面：如果C是凸的，那么在C的每个边界点都存在一个支持超平面。
支撑超平面不完全逆定理：如果一个集合是闭的，具有非空内部并且其边界上每个点均存在支撑超平面，那么它是凸的。
参考：
凸优化之保凸运算
广义不等式
【最优化理论与算法】数学预备知识、凸集和凸函数