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0. 学习目标

树 (Tree) 是程序设计和算法中最重要的非线性数据结构之一，它以层次化的方式组织数据，广泛应用于文件系统、数据库索引、表达式解析、网络路由等场景。本节将首先介绍树的基本概念及其抽象数据类型 (ADT)，然后讲解常见的两种存储实现方式，并通过示例验证其操作；最后结合实际问题，演示如何利用树实现复杂算法。
通过本节学习，应掌握以下内容：

• 树的基本概念、术语及常见类型
• 树的抽象数据类型定义及核心操作
• 链式存储与顺序存储（数组表示）的实现方法及时间空间复杂度分析
• 常用遍历算法(前序、中序、后序、层次)及其实现
• 利用树解决实际问题(表达式求值等)

1. 树的基本概念

在计算机科学中，树 (Tree) 是一种表示层次关系的非线性抽象数据结构，由节点 (Node) 和连接节点的边 (Edge) 组成。每个节点最多只有一个父节点，但可以连接任意数量的子节点，这意味着树中不存在环路或循环结构。根节点 (Root) 是没有父节点的节点，作为树的起始点；而没有子节点的节点称为叶节点 (Leaf)。树中每个节点可以拥有零个或多个子节点，适用于文件系统、组织结构等场景。

1.1 常用术语

树 (Tree)：由节点 (Node) 和连接节点的边 (Edge) 组成的层次结构。
根节点 (Root)：没有父节点的唯一节点。
子节点 (Child) 与父节点 (Parent)：父节点是直接与子节点相连且位于上层的节点，子节点是其下层节点。
叶子节点 (Leaf)：没有子节点的节点。
内部节点（Internal Node）：至少有一个子节点的非根节点。
深度 (Depth)：从根节点到某节点的边数；根的深度为 0。
高度 (Height)：从某节点到最深叶子的最长边数；整棵树的高度是根的高度。
度 (Degree)：节点拥有的子节点个数；树的度是所有节点度的最大值。
二叉树 (Binary Tree)：度不超过 2 的有序树，子节点分别称为左子树和右子树。

1.2 树的抽象数据类型

ADT Tree
 数据对象：$D=n_i\mid n_i\in \text{Node},i=1,2,\dots$
 数据关系：$R=⟨n_i,n_j⟩|a_i,a_{i+1}\in D,i=1,2,...,n-1$
 基本操作：
  1. __init__()：初始化空树
  2. is_empty()：判断树是否为空
  3. add_root(data)：创建根节点
  4. add_child(parent, data)：在指定父节点下添加子节点
  5. remove(node)：删除指定节点及其子树
  6. traverse_preorder(mode)：按指定模式遍历树
  7. find(data)：查找值为 data 的节点

1.3 树的应用场景

树具有广泛的应用场景，例如：

• 文件系统：目录与文件的层次管理
• XML/JSON 解析：数据以树状结构存储
• 编译原理：抽象语法树用于表达式和程序结构
• 数据库索引：如 B 树、B+ 树、红黑树等
• 路由表和决策树：网络分组转发与机器学习

2. 树的实现

树的存储方式主要有两种：链式存储(每个节点保存对其子节点的引用)和顺序存储(使用列表保存所有节点及其父节点索引)。

2.1 链式存储实现

树的链式存储中，每个节点包含数据和指向其子节点的指针。使用一个列表 (children) 来存储子节点。每个节点可能有多个子节点，因此我们使用一个列表来保存这些子节点的引用：

class ChainNode:def __init__(self, data):self.data = dataself.children = []  # 存放子节点引用def __str__(self):return str(self.data)

2.1.1 树的初始化

初始化空树，即将根节点设置为 None：

class Tree:def __init__(self):self.root = None

2.1.2 树判空

判断树是否为空，当根节点为 None 时，树为空：

    def is_empty(self):return self.root is None

2.1.3 创建根节点

创建根节点，若已有根则抛出异常；返回新建的根节点引用：

    def add_root(self, data):if self.root is not None:raise Exception("根节点已存在")self.root = ChainNode(data)return self.root

2.1.4 创建子节点

在指定父节点下添加子节点，父节点不存在时抛出异常；返回新建的子节点引用：

    def add_child(self, parent, data):if parent is None:raise Exception("父节点不存在")node = ChainNode(data)parent.children.append(node)return node

2.1.5 删除指定节点

删除指定节点及其整个子树，若删除根则将树置为空：

    def remove(self, node):if self.root is None or node is None:returnif node is self.root:self.root = Nonereturndef _remove_from_parent(cur, target):for child in cur.children:if child is target:cur.children.remove(child)return Trueif _remove_from_parent(child, target):return Truereturn False_remove_from_parent(self.root, node)

2.1.6 遍历树

按指定模式遍历树，支持前序 (preorder)、后序 (postorder) 和层序 (levelorder)：
前序遍历：也称深度优先遍历，首先访问根节点，然后递归依次遍历各子树
后序遍历：首先对节点的各子树依次递归遍历，然后访问根节点
层序遍历：也成广度优先遍历，按层次从上至下、从左至右依次访问节点

    def traverse(self, mode='preorder'):if self.root is None:return []result = []if mode == 'preorder':def dfs_pre(node):result.append(node.data)for ch in node.children:dfs_pre(ch)dfs_pre(self.root)elif mode == 'postorder':def dfs_post(node):for ch in node.children:dfs_post(ch)result.append(node.data)dfs_post(self.root)elif mode == 'levelorder':from collections import dequeq = deque([self.root])while q:cur = q.popleft()result.append(cur.data)for ch in cur.children:q.append(ch)else:raise ValueError("不支持的遍历模式：" + mode)return result

2.1.7 查找

查找值为 data 的节点，返回第一个匹配的节点引用，否则返回 None：

    def find(self, data):def dfs(node):if node.data == data:return nodefor ch in node.children:found = dfs(ch)if found:return foundreturn Noneif self.root is None:return Nonereturn dfs(self.root)

2.2 顺序存储实现

在树的顺序存储中，我们通常使用数组(或列表)来存储树的节点信息，并通过节点的父子关系来定位每个节点的位置，每个节点的子节点在数组中的位置是连续的。

2.2.1 树的初始化

初始化空树，数据和值列表均为空：

class SeqTree:def __init__(self):self.data_list = []self.parent_list = []

2.2.2 判树空

判断树是否为空，当 data_list 为空时返回 True：

    def is_empty(self):return len(self.data_list) == 0

2.2.3 创建根节点

创建根节点，将 data_list 添加根值，parent_list 添加 -1；返回根节点索引：

    def add_root(self, data):if not self.is_empty():raise Exception("根已存在")self.data_list.append(data)self.parent_list.append(-1)return 0

2.2.4 创建子节点

在指定父节点索引下添加子节点，索引无效时抛出异常；返回新节点索引：

    def add_child(self, parent_idx, data):if parent_idx < 0 or parent_idx >= len(self.data_list):raise IndexError("父节点索引无效")idx = len(self.data_list)self.data_list.append(data)self.parent_list.append(parent_idx)return idx

2.2.5 删除指定节点

删除指定节点及其子树，先收集所有待删除节点索引，再降序删除并修正父索引：

    def remove(self, idx):if idx < 0 or idx >= len(self.data_list):returnto_del = set()def dfs_del(i):to_del.add(i)for j, p in enumerate(self.parent_list):if p == i:dfs_del(j)dfs_del(idx)for i in sorted(to_del, reverse=True):self.data_list.pop(i)self.parent_list.pop(i)self.parent_list = [p-1 if p > i else p for p in self.parent_list]

2.6 遍历树

按指定模式遍历树，支持 preorder、postorder 和 levelorder：

    def traverse(self, mode='preorder'):if self.is_empty():return []result = []if mode == 'preorder':def dfs(i):result.append(self.data_list[i])for j, p in enumerate(self.parent_list):if p == i:dfs(j)dfs(0)elif mode == 'postorder':def dfs(i):for j, p in enumerate(self.parent_list):if p == i:dfs(j)result.append(self.data_list[i])dfs(0)elif mode == 'levelorder':from collections import dequeq = deque([0])while q:i = q.popleft()result.append(self.data_list[i])for j, p in enumerate(self.parent_list):if p == i:q.append(j)else:raise ValueError("不支持的遍历模式：" + mode)return result

2.7 查找

查找值为 data 的节点，返回第一个匹配的索引，否则返回 None：

   def find(self, data):for i, d in enumerate(self.data_list):if d == data:return ireturn None

2.3 实现对比

特性	链式存储	顺序存储
存储结构	节点对象 + 动态列表	Python 列表
插入	$O(1)$	$O(1)$，但可能触发扩容复制
删除	$O(n)$	$O(n)$
遍历	递归/迭代	索引计算
空间利用率	与节点个数成正比	需预留/扩容，存在浪费

3. 树的应用

3.1 链树

首先初始化一个链树，然后测试相关操作：

tree = ChainTree()
r = tree.add_root('A')
b = tree.add_child(r, 'B')
c = tree.add_child(r, 'C')
tree.add_child(b, 'D')
tree.add_child(b, 'E')
print(tree.traverse('preorder'))
print(tree.find('E').data)
tree.remove(b)
print(tree.traverse('levelorder'))

输出结果如下所示：

['A', 'B', 'D', 'E', 'C']
E
['A', 'C']

3.2 顺序树

初始化一个顺序树，然后测试相关操作：

st = SeqTree()
r_idx = st.add_root('A')
b_idx = st.add_child(r_idx, 'B')
c_idx = st.add_child(r_idx, 'C')
st.add_child(b_idx, 'D')
st.add_child(b_idx, 'E')
print(st.traverse('postorder'))
print(st.find('C'))
st.remove(b_idx)
print(st.traverse('levelorder'))

输出结果如下所示：

['D', 'E', 'B', 'C', 'A']
2
['A', 'C']

小结

本节系统地介绍了树的基本术语和结构，包括节点、边、根节点、父子关系、度、深度和高度等概念，建立对树结构的清晰认知。随后，通过详细的代码，展示了树的构建及其常用的遍历方法，包括前序、后序和层次遍历。