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        对于一张有向图，我们一般有邻接矩阵和邻接表两种存储方式。对于无向图，可以把无向边看作两条方向相反的有向边，从而采用与有向图一样的存储方式。 

$$ 邻接矩阵的空间复杂度为 O(n^2)，因此我们一般不采用这种方式 $$

        我们用数组模拟链表：长度为n的表头数组head记录了从每个节点出发的第一条边在 ver 和 edge 数组中的存储位置，长度为 m 的边集数组 ver 和 edge 记录了每条边的终点和边权。长度为 m 的数组 next 模拟了链表指针，表示从相同节点出发的下一条边在 ver 和 edge数组中的存储位置。

$$ 邻接表的空间复杂度为 O(n + m) $$

void add(int x, int y, int z) {ver[++tot] = y, edge[tot] = z, Next[tot] = head[x], head[x] = tot;
}//访问从 x 出发的所有边
for (int i = head[x]; i; i = Next[i]) {int y = ver[i], z = edge[i];//找到了一条有向边(x, y),权值为 z
}

单源最短路径

        单源最短路径问题(Single Source Shortest Psth，SSSP问题) 是说，给定一张有向图 G = (V，E)，V是点集，E是边集，|V| = n，|E| = m，节点以 [1,n] 之间的连续整数编号，(x，y，z) 描述一条从 x 出发，到达 y，长度为 z 的有向边。设 1 号点为起点，求长度为 n 的数组 dist，其中dist[i]，表示从起点 1 到 节点 i 的最短路径的长度。

Dijkstra算法

        $$ Dijkstra算法的流程如下: $$ 

        $$ 1.初始化 dist[1] = 0，其余节点的 dist 值为正无穷大 $$

        $$ 2.找出一个未被标记的、dist[x] 最小的节点 x，然后标记节点 x $$

        $$ 3.扫描节点 x 的所有出边 (x，y，z)，若 dist[y] > dist[x]  + z，则使用 dist[x] +  z 更新 dist[y] $$

        $$ 4.重复上述 2 ~ 3 两个步骤，直到所有节点都被标记 $$

        Dijkstra 算法基于贪心思想，它只适用于所有边的长度都是非负数的图。当边长都是非负数时，全局最小值不可能再被其他节点更新，故在第一步中选出的节点 x 必然满足：dist[x] 已经是起点到 x 的最短路径。我们不断选择全局最小值进行标记和扩展，最终可得到起点 1 到每个节点的最短路径的长度。

const int N = 1e3 + 10;
int a[N][N], d[N], n, m, s;
bool v[N];
void dijkstra(int s) {std::memset(d, 0x3f, sizeof d);d[s] = 0;for (int i = 1; i < n; i++) {//重复进行 n - 1次int x = 0;//找到未标记节点中 dist 最小的for (int j = 1; j <= n; j++) {if (!v[i] && (x == 0 || d[j] < d[x])) {x = j;}}v[x] = 1;//用全局最小值点 x 更新其他节点for (int y = 1; y <= n; y++) {d[y] = std::min(d[y], d[x] + a[x][y]);}}
}int main() {std::cin >> n >> m >> s;//构建邻接矩阵std::memset(a, 0x3f, sizeof a);for (int i = 1; i <= n; i++) {a[i][i] = 0;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;std::cin >> u >> v >> w;a[u][v] = std::min(a[u][v], w);}//求单源最短路径dijkstra(s);for (int i = 1; i <= n; i++) {std::cout << d[i] << " \n"[i == n];}return 0;
}

        $$ 上面程序的时间复杂度为O(n^2)$$

        $$ 主要瓶颈在于第一步的寻找全局最小值的过程 $$

$$ 可以用二叉堆(C++ STL priority_queue) 对 dist 数组进行维护 $$

$$ 用 O(logn) 的时间获取最小值并从堆中删除 $$

$$ 用O(logn) 的时间执行一条边的扩展和更新 $$

$$ 最终可在 O((m + n)logn) 的时间内实现 Dijkstra 算法 $$

const int N = 1e5 + 10, M = 1e6 + 10;
int head[N], ver[M], edge[M], next[M], d[N];
bool v[N];
int n, m, s, tot;
std::priority_queue<std::pair<int, int> > q;void add(int u, int v, int w) {ver[++tot] = v, edge[tot] = w, next[tot] = head[u], head[u] = tot;
}void dijkstra(int s) {std::memset(d, 0x3f, sizeof d);d[s] = 0;q.push(std::make_pair(0, s));while (q.size()) {//取出栈顶int x = q.top().second;q.pop();if (v[x]) continue;v[x] = true;//扫描所有出边for (int i = head[x]; i; i = next[i]) {int y = ver[i], z = edge[i];if (d[y] > d[x] + z) {//更新,把新的二元组插入堆d[y] = d[x] + z;q.push(std::make_pair(-d[y], y));}}}
}int main() {std::cin >> n >> m >> s;//构建邻接表for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;add(u, v, w);}dijkstra(s);for (int i = 1; i <= n; i++) {std::cout << d[i] << " \n"[i == n];}return 0;
}

Bellman - Ford 算法和 SPFA 算法

       $$ 给定一张有向图，若对于图中的某一条边 (x, y, z)，有 dist[y] \le dist[x] + z 成立 $$

$$ 则称该边满足三角形不等式。 $$

$$ 若所有边都满足三角形不等式，则 dist 数组就是所求最短路 $$

$$ 下面介绍SPFA算法 $$

const int N = 1e5 + 10, M = 1e6 + 10;
int head[N], ver[M], edge[M], next[M], d[N];
int n, m, tot, s;
std::queue<int> q;
bool v[N];void add(int u, int v, int w) {ver[++tot] = v, edge[tot] = w, next[tot] = head[u], head[u] = tot;
}void spfa(int s) {std::memset(d, 0x3f, sizeof d);d[s] = 0, v[s] = true;q.push(s);while (q.size()) {//取出对头int x = q.front();q.pop();v[x] = false;//扫描所有出边for (int i = head[x]; i; i = next[i]) {int y = ver[i], z = edge[i];if (d[y] > d[x] + z) {//更新,把新的二元组插入堆d[y] = d[x] + z;if (!v[y]) {q.push(y), v[y] = true;}}}}
}