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石家庄有什么好玩的地方,图片优化网站,淘宝客可以做返利网站吗,免费下载模板ppt6. 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 分类加法计数原理定义 完成一件事,有 n n n 类办法,在第1类办法中有 m 1 m_1 m1​ 种不同的方法,在第2类办法中有 m 2 m_2 m2​ 种不同的方法,…,在第 n n…

6. 计数原理

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理定义

完成一件事,有 n n n 类办法,在第1类办法中有 m 1 m_1 m1 种不同的方法,在第2类办法中有 m 2 m_2 m2 种不同的方法,…,在第 n n n 类办法中有 m n m_n mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N = m 1 + m 2 + . . . + m n N = m_1 + m_2 + ... + m_n N=m1+m2+...+mn 种不同的方法。

分步乘法计数原理定义

完成一件事,需要分成 n n n 个步骤,做第1步有 m 1 m_1 m1 种不同的方法,做第2步有 m 2 m_2 m2 种不同的方法,…,做第 n n n 步有 m n m_n mn种不同的方法,那么完成这件事共有: N = m 1 ⋅ m 2 ⋅ … ⋅ m n N=m_1 \cdot m_2 \cdot \ldots \cdot m_n N=m1m2mn种不同的方法。

总结:如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理。如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才能完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理。


  1. 高二年级一班有女生18人,男生38人,从中选取一名学生作代表,参加学校组织的调查团,选取代表的方法有几种?

  2. a a a b b b 是正整数,且 a + b ≤ 6 a+b≤6 a+b6,则以 ( a , b ) (a,b) (ab) 为坐标的点共有多少个?

  3. 用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )。
    A.324
    B.328
    C.360
    D.648

  4. 用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( )。
    A.8
    B.24
    C.48
    D.120

  5. 将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数有多少种?

  6. 如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余两所学校均只参观一天,那么不同的安排方法共有多少种?

  7. 用0,1,2,3,4,5这6个数字:
    (1)可以组成多少个数字不重复的三位数。
    (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数。

  8. (1)六名同学报名参加三项体育比赛,每人限报一项,共有多少种不同的报名结果?
    (2)六名同学参加三项比赛,三个项目比赛冠军的不同结果有多少种?

  9. 用0,3,4,5,6排成无重复字的五位数,要求偶数字相邻,奇数字也相邻,则这样的五位数的个数是?

  10. 若自然数 n n n 使得作竖式加法 n + ( n + 1 ) + ( n + 2 ) n+(n+1)+(n+2) n+(n+1)+(n+2) 均不产生进位现象。则称 n n n 为“可连数”。例如:32是“可连数”,因32+33+34不产生进位现象;23不是“可连数”,因23+24+25产生进位现象。那么,小于1000的“可连数”的个数为( )
    A.27
    B.36
    C.39
    D.48

  11. 用0,1,2,3,4,5这6个数字,可以组成多少个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数。

  12. 同室4人各写1张贺年卡,先集中起来,然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式有( )
    A.6种
    B.9种
    C.11种
    D.23种

  13. 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单,开演前又增加了3个新节目,如果将这3个节目插入原节目单中,那么不同的插法种数为( )
    A.504
    B.210
    C.336
    D.120


6.2 排列与组合

排列数的定义

n n n 个不同元素中取出 m ( m ⩽ n ) m(m \leqslant n) m(mn) 个元素排成一列,叫做从 n n n 个不同元素中取出 m m m 个元素的一个排列。

n n n 个不同元素中取出 m ( m ⩽ n ) m(m \leqslant n) m(mn) 个元素的所有排列的个数,叫做从 n n n 个不同元素中取出 m m m 个元素的排列数,用符号 A n m A_n^m Anm 表示。

排列数的公式

A n m = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) … ( n − m + 1 ) = n ! ( n − m ) ! A_n^m = n(n-1)(n-2) \ldots (n-m+1) = \dfrac{n!}{(n-m)!} Anm=n(n1)(n2)(nm+1)=(nm)!n!

m = n m = n m=n 时, A n m = n ! = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) … 3 ⋅ 2 ⋅ 1 A_n^m = n! = n(n-1)(n-2) \ldots 3 \cdot 2 \cdot 1 Anm=n!=n(n1)(n2)321

0 ! = 1 0! = 1 0!=1

排列数的性质

  1. A n m = n A n − 1 m − 1 A_n^m = nA_{n-1}^{m-1} Anm=nAn1m1
  2. A n m = 1 n − m A n m + 1 = n n − m A n − 1 m A_n^m = \dfrac{1}{n-m}A_n^{m+1}=\dfrac{n}{n-m}A_{n-1}^m Anm=nm1Anm+1=nmnAn1m
  3. A n m = m A n − 1 m − 1 + A n − 1 m A_n^m = mA_{n-1}^{m-1} + A_{n-1}^{m} Anm=mAn1m1+An1m

组合数定义

n n n 个不同元素中取出 m ( m ⩽ n ) m(m \leqslant n) m(mn) 个元素并成一组,叫做从 n n n 个不同元素中取出 m m m 个元素的一个组合。

n n n 个不同元素中取出 m ( m ⩽ n ) m(m \leqslant n) m(mn) 个元素的所有组合的个数,叫做从 n n n 个不同元素中取出 m m m 个元素的组合数,用符号 C n m C_n^m Cnm 表示。

组合数公式及其推导

求从 n n n 个不同元素中取出 m m m 个元素的排列数 A n m A_n^m Anm,可以按以下两步来考虑:
第一步,先求出从这 n n n 个不同元素中取出 m m m 个元素的组合数 C n m C_n^m Cnm
第二步,求每一个组合中 m m m 个元素的全排列数 A m m A_m^m Amm
根据分步计数原理,得到 A n m = C n m ⋅ A m m A_n^m = C_n^m \cdot A_m^m Anm=CnmAmm
因此 C n m = A n m A m m = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) … ( n − m + 1 ) m ! C_n^m = \dfrac{A_n^m}{A_m^m}=\dfrac{n(n-1)(n-2) \ldots (n-m+1)}{m!} Cnm=AmmAnm=m!n(n1)(n2)(nm+1)
这里 n , m ∈ N + n,m \in N_+ n,mN+,且 m ⩽ n m \leqslant n mn,这个公式叫做组合数公式。
因为 A n m = n ! ( n − m ) ! A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!} Anm=(nm)!n!,所以组合数公式还可表示为 C n m = n ! m ! ( n − m ) ! C_n^m = \dfrac{n!}{m!(n-m)!} Cnm=m!(nm)!n!
C n 0 = C n n = 1 C_n^0 = C_n^n = 1 Cn0=Cnn=1

组合数的性质

  1. C n m = C n n − m C_n^m = C_n^{n-m} Cnm=Cnnm
  2. C n m + C n m − 1 = C n + 1 m C_n^m + C_n^{m-1} = C_{n+1}^m Cnm+Cnm1=Cn+1m

排列组合的综合应用

  1. 列举法
    • 情况较少。当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树形图法、图表法或者框图法。

  1. (无限制条件的排列问题)利用1,2,3,4这四个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?

  2. (元素相邻问题)记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( )
    A.1440种
    B.720种
    C.960种
    D.480种

  3. 某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的不同种数为多少?

  4. (元素不相邻问题)《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味。若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有( )
    A.288种
    B.144种
    C.720种
    D.360种

  5. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?

  6. (定位、定元问题)6名同学排成1排照相,要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边,共有多少种不同站法?

  7. (无限制条件的组合问题)从5种主料中选2种,8种辅料中选3种来烹饪一道菜,烹饪方式有5种,那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为( )
    A.18
    B.200
    C.2800
    D.33600

  8. (有限制条件的组合问题)某医院从10名医疗专家中抽调6名赴灾区救灾,其中这10名医疗专家中有4名是外科专家。问:
    (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?
    (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?
    (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?

  9. 三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传球后,球仍回到甲手中,则不同的传球方式共有( )
    A. 5种
    B. 10种
    C. 8种
    D. 16种

  10. 设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个球放入这五个盒子内,要求每个盒子内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则这样的投放方法的总数为?

  11. 有红、黄、蓝色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法?


6.3 二项式定理

二项式定理定义

一般地,对于任意正整数 n n n,都有 ( a + b ) n = C n 0 a n + C n 1 a n − 1 b + … + C n r a n − r b r + … + C n n b n ( n ∈ N ∗ ) (a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + \ldots + C_n^ra^{n-r}b^r + \ldots + C_n^nb^n (n \in N*) (a+b)n=Cn0an+Cn1an1b++Cnranrbr++Cnnbn(nN) 这个公式所表示的定理叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做 ( a + b ) n (a+b)^n (a+b)n 的二项展开式。
式中的 C n r a n − r b r C_n^ra^{n-r}b^{r} Cnranrbr 叫做二项展开式的通项, 用 T r + 1 T_{r+1} Tr+1 表示,即通项为展开式的第 r + 1 r+1 r+1 项: T r + 1 = C n r a n − r b r T_{r+1} = C_n^ra^{n-r}b^r Tr+1=Cnranrbr,其中的系数 C n r ( r = 0 , 1 , 2 , … , n ) C_n^r (r=0,1,2, \ldots ,n) Cnr(r=0,1,2,,n) 叫做二项式系数。

二项式 ( a + b ) n (a+b)^n (a+b)n 的展开式的特点

  1. 项数:共有 n + 1 n+1 n+1 项,比二项式的次数大1;
  2. 二项式系数:第 r + 1 r+1 r+1 项的二项式系数为 C n r C_n^r Cnr,最大二项式系数项居中;
  3. 次数:各项的次数都等于二项式的幂指数 n n n。字母 a a a 降幂排列,次数由 n n n 到 0;字母 b b b 升幂排列,次数从0到 n n n,每一项中, a , b a,b a,b 次数和均为 n n n
  4. 项的系数:二项式系数依次是 C n 0 , C n 1 , C n 2 , … , C n r , … , C n n C_n^0,C_n^1,C_n^2,\ldots,C_n^r,\ldots ,C_n^n Cn0Cn1Cn2CnrCnn,项的系数是 a a a b b b 的系数(包括二项式系数)。

两个常用的二项展开式

  1. ( a − b ) n = C n 0 a n − C n 1 a n − 1 b + … + ( − 1 ) r ⋅ C n r a n − r b r + … + ( − 1 ) n ⋅ C n n b n ( n ∈ N ∗ ) (a-b)^n = C_n^0a^n - C_n^1a^{n-1}b + \ldots + (-1)^r \cdot C_n^ra^{n-r}b^r + \ldots +(-1)^n \cdot C_n^nb^n (n \in N^*) (ab)n=Cn0anCn1an1b++(1)rCnranrbr++(1)nCnnbn(nN)
  2. ( 1 + x ) n = 1 + C n 1 x + C n 2 x 2 + … + C n r x r + … + x n (1+x)^n = 1 + C_n^1x + C_n^2x^2 + \ldots + C_n^rx^r + \ldots + x^n (1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2++Cnrxr++xn

二项展开式的通项公式

T r + 1 = C n r a n − r b r ( r = 0 , 1 , 2 , … , n ) T_{r+1} = C_n^ra^{n-r}b^r(r=0,1,2, \ldots ,n) Tr+1=Cnranrbr(r=0,1,2,,n)

公式特点:

  1. 它表示二项展开式的第 r + 1 r+1 r+1 项,该项的二项式系数是 C n r C_n^r Cnr
  2. 字母 b b b 的次数和组合数的上标相同;
  3. a a a b b b 的次数之和为 n n n


http://www.shuangfujiaoyu.com/news/19045.html

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