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仿射变换（Affine Transformation）

仿射变换是图像处理中的一种基本操作，通过线性变换和平移实现图像的几何变换。仿射变换包括旋转、缩放、平移、翻转、错切（shear）等操作。

1. 仿射变换的作用

• 旋转：将图像绕一个固定点（通常是图像中心）旋转一定角度。
• 缩放：对图像进行放大或缩小，改变图像的尺寸。
• 平移：将图像在平面上移动到指定位置。
• 翻转：沿特定轴将图像反转，比如水平或垂直翻转。
• 错切：将图像的某一个方向拉伸，使图像产生倾斜效果。

仿射变换在计算机视觉和图像处理中的应用非常广泛，比如在图像配准、目标检测、图像增强等领域中都可以看到仿射变换的身影。

2. 数学实现原理

仿射变换通过一个矩阵乘法和一个向量加法来实现。假设二维空间中的一个点的坐标为 $(x,y)$，经过仿射变换后，该点的新坐标为 $(x^{\prime },y^{\prime })$。则有如下数学表达式：

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right)$$

这里，$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ 是 2x2 仿射变换矩阵，$\left(\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right)$ 是平移向量。

具体仿射变换：

1. 平移：
   $$x^{\prime }=x+e,y^{\prime }=y+f$$
   其中，$e$ 和 $f$ 是平移量。

2. 旋转：
   $$x^{\prime }=x\cdot \cos (\theta )-y\cdot \sin (\theta ),y^{\prime }=x\cdot \sin (\theta )+y\cdot \cos (\theta )$$
   其中，$\theta$ 是旋转角度。

3. 缩放：
   $$x^{\prime }=x\cdot s_x,y^{\prime }=y\cdot s_y$$
   其中，$s_x$ 和 $s_y$ 是在 x 轴和 y 轴上的缩放比例。

4. 错切：
   $$x^{\prime }=x+{\lambda }_y\cdot y,y^{\prime }=y+{\lambda }_x\cdot x$$
   其中，${\lambda }_x$ 和 ${\lambda }_y$ 是在 x 轴和 y 轴上的错切系数。

3. 注意事项

1. 矩阵可逆性：为了保证仿射变换能被逆变换，仿射变换矩阵 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ 必须是非奇异的，即其行列式不为 0。这确保了变换后的图像可以通过逆变换恢复原状。

2. 边界处理：仿射变换可能导致图像的一部分移出图像边界，或者图像空白区域增加。因此，通常需要对图像进行裁剪或填充处理。

3. 插值方法：在仿射变换过程中，目标图像中的像素可能对应源图像中非整数坐标的点，因此需要使用插值方法（如最近邻插值、双线性插值或双三次插值）来计算这些点的像素值。

4. 保持图像质量：频繁进行仿射变换可能导致图像质量下降，比如模糊、锯齿效应等。因此，在设计变换时需要考虑如何最小化质量损失。

5. 变换顺序：如果需要执行多个变换，变换的顺序会影响最终结果。例如，旋转后再平移和先平移后旋转的结果是不一样的。因此，需要谨慎设计变换的顺序以达到预期效果。

C代码示例

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>#define IMAGE_WIDTH 1088
#define IMAGE_HEIGHT 1288
#define DEGREE_TO_RADIAN(deg) ((deg) * M_PI / 180.0)// 图像数据结构
typedef struct {int width;int height;unsigned char *data; // 指向图像像素数据的指针
} Image;// 从RAW8文件读取图像数据
Image *read_raw8_image(const char *filename, int width, int height) {FILE *file = fopen(filename, "rb");if (!file) {printf("无法打开文件 %s\n", filename);return NULL;}// 在堆上为图像数据分配内存unsigned char *data = (unsigned char *)malloc(width * height * sizeof(unsigned char));if (!data) {printf("内存分配失败\n");fclose(file);return NULL;}// 读取图像数据fread(data, sizeof(unsigned char), width * height, file);fclose(file);// 创建Image结构并返回Image *image = (Image *)malloc(sizeof(Image));image->width = width;image->height = height;image->data = data;return image;
}// 将图像数据写入RAW8文件
void write_raw8_image(const char *filename, Image *image) {FILE *file = fopen(filename, "wb");if (!file) {printf("无法打开文件 %s\n", filename);return;}// 写入图像数据fwrite(image->data, sizeof(unsigned char), image->width * image->height, file);fclose(file);
}
// 释放图像内存
void free_image(Image *image) {if (image) {if (image->data) {free(image->data);}free(image);}
}// 仿射变换函数：旋转图像
Image *affine_transform(Image *image, float angle) {int width = image->width;int height = image->height;// 角度转弧度float radians = DEGREE_TO_RADIAN(angle);float cos_theta = cos(radians);float sin_theta = sin(radians);// 中心点int center_x = width / 2;int center_y = height / 2;// 在堆上为旋转后的图像数据分配内存Image *rotated_image = (Image *)malloc(sizeof(Image));rotated_image->width = width;rotated_image->height = height;rotated_image->data = (unsigned char *)malloc(width * height * sizeof(unsigned char));// 初始化旋转后图像为0（黑色）for (int i = 0; i < width * height; i++) {rotated_image->data[i] = 0;}// 遍历原始图像的每一个像素for (int y = 0; y < height; y++) {for (int x = 0; x < width; x++) {// 计算相对于中心点的偏移int x_offset = x - center_x;int y_offset = y - center_y;// 进行仿射变换（旋转）int new_x = (int)(cos_theta * x_offset + sin_theta * y_offset) + center_x;int new_y = (int)(-sin_theta * x_offset + cos_theta * y_offset) + center_y;// 检查新坐标是否在图像范围内if (new_x >= 0 && new_x < width && new_y >= 0 && new_y < height) {rotated_image->data[new_y * width + new_x] = image->data[y * width + x];}}}return rotated_image;
}
int main() {// 读取RAW8图像Image *image = read_raw8_image("input.raw", IMAGE_WIDTH, IMAGE_HEIGHT);if (!image) {return 1;}// 对图像进行15度旋转Image *rotated_image = affine_transform(image, 15.0);// 保存旋转后的图像write_raw8_image("rotated_output.raw", rotated_image);// 释放内存free_image(image);free_image(rotated_image);return 0;
}